Wie Archimedes p (pi) berechnete

 

  Archimedes ( gest. 212 v.Chr.) ist es gelungen, durch geniale Überlegungen und Rechnungen die  Kreiszahl p ausreichend  genau zu bestimmen. Er geht aus von ein- und umbeschriebenen Streckenzügen, die die Kreislinie immer mehr annähern.

Im Bild ist dem Kreis ein reguläres 6-Eck ein- und umbeschrieben. Verdoppelt man die Eckenzahl, so nähern sich die Streckenzüge einander immer näher an. Der Umfang des Kreises liegt also stets zwischen 2 Zahlen, die einander immer näher kommen.

Ein Java-Applet zur Demonstration der Berechnung von p durch Archimedes. 


 p


 

Die Berechnung  

Die folgende Figur zeigt die Überlegungen, die Archimedes zum Ziel führten. Das Prinzip ist die Berechnung der Seitenlängen des 12-Ecks aus den Seitenlängen des 6-Ecks, des 24-Ecks aus den Längen des 12-Ecks, allgemein die Berechnung der Seitenlängen des 2n-Ecks aus den Seitenlängen des n-Ecks. Mit dem 3-Eck beginnt diese Rechenkette.
In der Figur bedeutet  die Seitenlänge des einbeschriebenen n-Ecks,  die des 2n-Ecks. Die Abstände des Kreismittelpunkts von diesen Seiten werden mit bezeichnet. 
Der Kreis hat den Radius 1 LE.

Überlegungsfigur

   

 Das Viereck ABCD ist ein Drachenviereck mit den zwei kongruenten rechtwinkligen Dreiecken ABC und ADC. [AC] ist die gemeinsame Seite der Länge 2 und   und   sind die Längen der Höhen. Für den Flächeninhalt des Drachenvierecks ergibt sich somit:

  (1)

Zur Berechnung der Drachenfläche können aber auch die blauen Linien einbezogen werden. Die schon genannten Dreiecke ABC und ADC sind nicht nur kongruent, sondern sind nach dem Lehrsatz des Thales rechtwinklige Dreiecke. Dann ist ihr Flächeninhalt noch leichter zu berechnen. Die eine Kathete ist [DC], also die Seite  . Die Strecke   steht senkrecht auf  und ist somit parallel zu AD. Da A und D jeweils vom Kreismittelpunkt gleich weit entfernt sind, ist die Strecke [AD] doppelt so lang wie  .
Für die Fläche des Drachenvierecks erhält man auf diese Weise:

  (2)

 Aus den Formeln (1) und (2) folgt die Beziehung

 . (3)

Günstig wäre eine Formel, die eine Abhängigkeit der Größe   nur von und   aufweist, denn die neue Seitenlänge soll ja aus den Werten der alten Seitenlänge berechnet werden . Also versucht man,   irgendwie durch   auszudrücken. Mit dem Kathetensatz im Dreieck ACD erhält man den folgenden Zusammenhang.


 

 Daraus folgt

 . (4)

Aus den markierten Beziehungen (3) und (4) lässt sich nun die Seitenlänge des 2n-Ecks durch die Werte  und  des n-Ecks ausdrücken.

Die Umsetzung dieser mathematischen Überlegungen in ein Java-Programm zur näherungsweisen Berechnung des Umfangs eines Kreises mit Radius 1 LE. ist nicht besonders schwierig.
Als globale Variablen brauchen wir entsprechend den bisherigen Bezeichnungen N, s und h.

double s;       //Seitenlänge des aktuellen n-Ecks
double h;       //Abstand der Seite des aktuellen n-Ecks vom Kreismittelpunkt
int N;           //Anzahl der Ecken des aktuellen n-Ecks

Als Startfigur nehmen wir den Einheitskreis mit dem regulären einbeschriebenen Dreieck. Dann erhält man durch geometrische Überlegungen leicht die Startwerte für den Algorithmus.

A und B sind Ecken des einbeschriebenen Dreiecks. C erhält man, indem man von M aus das Lot auf AB fällt und mit der Kreislinie schneidet. Dann ist MC aber auch die Winkelhalbierende im gleichschenkligen Dreieck ABM. Somit ist das Dreieck MCB ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge 1. [BF] ist die Höhe und der Fußpunkt F der Höhe ist Mittelpunkt von [MC].

Mit Pythagoras berechnet man nun im Dreieck MFB die Länge der Seite [BF].

Nun können die Startwerte festgesetzt werden.
    
 N = 3;
   s = Math.sqrt(3.0);
   h = (1/2.0)
;
Das für die näherungsweise Berechnung des Umfangs Wesentliche ist die Methode, die den Schritt vom n-Eck zum 2n-Eck vollzieht.

1      public void next() {
2         if (N < 100000) {       
//nicht zu viele Ecken
3                 h = Math.sqrt((1+h)/2);    
//Formel (4)
4                 s = s/(2*h);               
//Formel (3) 
5                 N*=2;           
//das 2n-Eck 
6                 Zeichne();      
//Aufruf zum Zeichnen
7         }       
8   }

zu 2 Mit 100000 Ecken ist die Näherung schon perfekt genug.
zu 3 Den Abstand h der Seite des 2n-Ecks vom Mittelpunkt berechnet man aus Formel (4) im Text oben
zu 4 Mit diesem  h lässt sich aus der Formel (3) im Text weiter oben leicht die Seite des einbeschriebenen 2n-Ecks berechnen.
zu 5 Der Übergang zum 2n-Eck ist geschafft. N wird mit 2 multipliziert. (C-typische Syntax)

Aus den in Abhängigkeit von der Eckenanzahl n errechneten Seitenlängen des einbeschriebenen n-Ecks läßt sich mit   die Länge des einbeschriebenen Streckenzuges berechnen.

Für die Berechnung des Umfangs   des umbeschriebenen Streckenzuges benötigt man die Seitenlänge des umbeschriebenen n-Ecks. Nach dem Strahlensatz folgt (vgl. Abbildung):

Somit erhält man für die Länge des umbeschriebenen Streckenzuges:

Für den Umfang des Kreises gilt für jede Eckenanzahl:

Nach Division durch den Durchmesser 2 des Kreises erhält man eine mit wachsendem n immer genauer werdene Intervallschachtelung für die Kreiszahl p.
Im Java-Applet dieser Seite werden diese Werte am unteren Rand angezeigt.


Das Verfahren nach Archimedes liefert einen guten Näherungswert mit 18 (Coprozessor bedingt) richtigen Nachkommastellen. Die graphische Darstellung setzt in diesem Programm aber die Grenzen, so dass eine Genauigkeit von 8 Nachkommstellen angemessen ist.


Der Wahlkurs Innovative Mathematik und
Karl Reif am Tag der Naturwissenschaften im April 2002

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