Das Änderungsverhalten einer Funktion


Abbildung 1: Konstante Funktion

Die Abbildung zeigt den Funktionsgraphen einer konstanten Funktion. Mit (von links nach rechts) fortschreitend sich veränderndem x ändern sich die entsprechenden Funktionswerte nicht. Relativ zu x verändern sich die y-Werte nicht.


 


Abbildung 2: Lineare Funktion mit positiver Steigung

Bei dieser nicht konstanten linearen Funktion vergrößern sich die y-Werte mit fortschreitenden x-Werten.
Vergrößert man an jeder beliebigen Stelle x den x-Wert um 1, dann steigt der y-Wert um 1/2. Vergrößert man den x-Wert um 2, dann steigt der y-Wert um 1.
Bezeichnet man den Änderungswert in die x-Richtung mit dx und in die y-Richtung mit dy, so erhält man folgende Tabelle.

dx
1
2
4
-2
-6
dy
1/2
1
2
-1
-3

Relativ zu x ist die Veränderung von y stets gleich, denn die Verhältnisse dy/dx haben immer den Wert 1/2, wie die Tabelle deutlich zeigt. Der Wert dy/dx ist als die Steigung einer Geraden bekannt. Diese entspricht genau der Erfahrung mit Steigungen an (geradlinigen) Straßen, die allerdings in % angegeben sind. So bedeutet 50% Steigung, dass auf 100 Meter horizontale Entfernung die Straße um 50 Meter ansteigt.
Die oben dargestellte Gerade hat die Steigung 1/2, als Straßensteigung würde man 50% angeben.


 


Abbildung 3: Lokal unterschiedlich schnell zunehmende Funktion

Diese Kurve steigt auf dem ganzen dargestellten Bereich von -4 bis +4 an, zunächst langsam aber ständig zunehmend bis etwa zur y-Achse. Hier etwa an der Stelle x = 0 ist der Anstieg, das heißt die relative Zunahme der Funktionswerte, am größten. Mit zunehmendem x wird die Kurve wieder flacher und läuft schließlich fast eben aus.


Im großen Gegensatz zu den beiden ersten Abbildungen hat diese Kurve an jeder Stelle x offensichtlich eine andere Änderungsrate bzw. Steilheit bzw. Steigung.


 


Abbildung 4: Steigende und fallende Funktion

1. In welchen Bereichen (Intervalle für x) steigt bzw. fällt die Kurve mit wachsendem x (d.h. bei Durchlaufrichtung von links nach rechts)?

2. An welcher Stelle x bzw. in welchem Kurvenpunkt hat die Kurve die größte positive bzw. negative Änderungsrate (d.h. den steilsten Anstieg bzw. Abfall)?

3. Welche Steigung hat die Kurve in den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen? Zeichne dazu die Steigung so genau wie möglich und miss mit verschiedenen dx-Werten den Wert dy/dx der Steigung!

4. Welche Änderungsrate/Steigung hat die Kurve am höchsten Punkt?


Lösungen:
zu 1.

Die Kurve fällt im x-Bereich von -4 bis -1,6 und von 1,6 bis 4.
Die Kurve steigt im x-Bereich von -1,6 bis 1,6.

zu 2.
größte positive Änderungsrate bei x = 0 bzw. im Kurvenpunkt (0 / 0);
größte negative Änderungsrate bei x = -3 und x = 3;

zu 3.
Punkt (-3,2 / 0): Änderungsrate/Steigung : ungefähr -1
Punkt (0 / 0) : Änderungsrate/Steigung : ungefähr 1
Punkt (3,2 / 0) : Änderungsrate/Steigung : ungefähr 1

zu 4.
Am höchsten Punkt (an der Stelle x = 1,6) ist die Änderungsrate/Steigung gleich Null.

 

Die momentane Änderungsrate einer Funktion

Die unten dargestellte Funktion hat offensichtlich an jeder Stelle eine andere Steilheit bzw. Änderungsrate.
Im Folgenden soll die Frage nach der momentanen Änderungsrate der Funktion ganz konkret an der Stelle x=2 bzw. im Kurvenpunkt P(2/1) beantwortet werden. Natürlich könnte man jeden anderen Kurvenpunkt dafür hernehmen. Der Weg zur Lösung wird deshalb allgemein sein.



Abbildung 1: Gefühlsmäßig gezeichnete Steigung in P

Die Abbildung 1 zeigt, dass eine nach Augenmaß gezeichnete Gerade durch den Punkt P die Steilheit bzw. Steigung bzw. momentane Änderungsrate im Punkt P gut darstellen kann. Dennoch weiß man aus Erfahrung, dass die Abweichungen von der richtigen Lösung oft groß sind. Nur ein arithmetisches Verfahren kann eine genaue Antwort liefern.


Das allgemeine Problem der momentanen Veränderung einer Funktion untersuchten im 17. Jahrhundert unabhängig voneinander Isaac Newton in England und Gottfried Wilhelm Leibniz in Deutschland. Die Beschreibung der kontinuierlichen Veränderung ist ein Meilenstein in der Differentialrechnung. Auch heute folgt man in der Erklärung den Gedanken dieser genialen Forscher.


Gesucht ist also die tatsächliche Steigung der oben nur gefühlsmäßig gezeichneten Geraden (Tangente), die die Steigung im Punkt P ausdrücken soll. Die Definition der Steigung, wie man sie für Geraden kennt, passt nicht, da die Verbindungslinie zu einem Punkt Q, der etwas weiter rechts auf dem Graphen liegt, eine gekrümmte Linie - also keine gerade Linie - ist.

Ist der horizontale Unterschied zwischen P und Q recht klein, 'unterscheidet' sich die geradlinige Verbindung von dem gekrümmten Bogenstück PQ nur geringfügig. Die Abbildung 2 zeigt drei Varianten mit unterschiedlichen horizontalen Entfernungen der Kurvenpunkte, die mit P und Q bezeichnet werden. Die bessere Näherung von geradliniger und bogenförmiger Verbindung der Punkte ist im 2. und vor allem im 3.Bild deutlich zu sehen. Die Sekante (Gerade, die die Kurve in P und Q schneidet ) nähert sich immer mehr der Tangente (Gerade, die die Kurve in P und Q berührt ) an. Abbildung 4 zeigt in einer Animation diesen Prozess.


Abbildung 2: Die zwei Kurvenpunkte rücken näher zusammen

Das Verständnis dieses dynamischen Näherungsprozesses ist ein erster wesentlicher Schritt zur Lösung der Aufgabe.
Die geometrisch anschauliche Lösungsstrategie soll im Folgenden algebraisch gefasst und ausgeführt werden. Dazu sind eine Reihe von Bezeichnungen notwendig, die in Abbildung 3 eingeführt werden.

Abbildung 3: Überlegungsfigur


Der horizontale Abstand der Punkte heiße h. Diese Zahl h soll zwar klein aber doch stets größer Null sein.


Die Funktion f sei durch f(x)=
(1/4)·x2 gegeben.


Der Punkt P habe die x-Koordinate x, der Punkt Q die x-Koordinate x+h.


Der y-Wert yP von P ist somit (1/4)·x2, der y-Wert yQ von Q ist (1/4)·(x+h)2.

Der horizontale Abstand der Punkte P und Q werde mit dx, den Unterschied der x-Werte, bezeichnet.

Der vertikale Abstand der Punkte P und Q werde mit dy, den Unterschied der y-Werte, bezeichnet.


Eine Zusammenstellung soll nun Übersicht über die im Folgenden benutzten Objekte schaffen.

f(x)=
1
4
x2
P(x | 
1
4
x2),   Q(x+h | 
1
4
(x+h)2)
 
dy =
yQ-yP=
1
4
(x+h)2-
1
4
x2
 
dx = (x+h)-x = h  

Dann gilt:
 
 
dy
dx
=
 
1
4
(x+h)2-
1
4
x2
(x+h)-h
=
1
4
·
(x+h)2-x2
h
=
 
  =
 
1
4
·
x2+2xh+h2-x2
h
=
1
4
·
2xh+h2
h
=
 
  =
 
1
4
·
h(2x+h)
h
 


Da h als eine positive Zahl vorausgesetzt ist, kann der letzte Ausdruck noch gekürzt werden.


 
dy
dx
=
1
4
(2x+h)


Es spielt keine Rolle, wie klein dieses h ist, also ist der nächste Schritt, dieses h beliebig, d.h. unendlich klein werden zu lassen. In jedem Falle ist dann (1/4)·(2x+h) die Steigung der Geraden, die durch P und Q geht.


In der ursprünglich gestellten Aufgabe in Abbildung 1 ist der Punkt P mit der x-Koordinate x=2 gegeben. Als Steigung der Geraden durch P und Q erhält man schließlich:

dy
dx
=
1
4
(4+h)=1+
1
4
h


Setzt man jetzt für h immer kleinere Werte ein, so erkennt man eine Folge von Zahlen, deren Grenzwert 1 ist. Der Grenzwert dieser Steigungen ist dann die Steigung im Punkt P.


Es ist klar, dass zum Verständnis ein exakter Begriff des Grenzwertes vorliegen muss. Umso bemerkenswerter ist es, dass Newton und Leibniz mit ihrer bahnbrechenden Leistung die Entwicklung einer Theorie der Grenzwerte erst erforderlich machten. Es dauerte dann noch über 200 Jahre, bis Cauchy und Weierstraß (Epsilon-Delta-Kriterium) eine fundierte Theorie darüber vorlegen konnten.


Der beschriebene Grenzprozess wird sowohl arithmetisch als auch geometrisch in der bewegten Graphik nochmals zum Ausdruck gebracht.