Flächenmessung durch Integration

Die Streifenmethode nach Archimedes


Mit immer schmäleren Streifen wird der Flächeninhalt beliebig genau angenähert.

Gesucht ist der Inhalt der Fläche zwischen der x-Achse und der Normalparabel im Intervall [0; 1] (vgl. mittleres Bild).


Durch Zerlegung des Intervalles [0; 1] in z.B. 4 gleich breite Streifen näherte Archimedes die tatsächliche Fläche durch zwei berechenbare Flächen, die sog. Untersumme
Un und Obersumme On, jeweils in Abhängigkeit von der Streifenanzahl n, an.
Die Höhe der jeweiligen Streifen wird bei der Untersumme durch den kleinsten Funktionswert, bei der Obersumme durch den größten Funktionswert auf dem entsprechenden Teilintervall bestimmt. Der Index n bestimmt dabei die Anzahl der Streifen der Zerlegung.

Natürlich ist die mit 4 Streifen gewonnene Näherung immer noch sehr ungenau. Aber bei Vergrößerung der Anzahl der Streifen wird die Näherung besser, wie das folgende Bild mit 8 Streifen zeigt.

Mit weiterer Vergrößerung der Streifenanzahl auf 16 wird die Näherung immer besser.

Wie in der Zeichnung leicht zu erkennen ist, nähern sich die beiden Summen immer näher dem gesuchten Wert an. Der gesuchte Wert A liegt bei jeder Zerlegung des Intervalls zwischen den Werten von Unter- und Obersumme, da die Funktion x |® x2 streng monoton ist.
Für stetige Funktionen, die auf dem entsprechenden Intervall entweder monoton steigend oder monoton fallend sind, gilt also

Un £ A £ On.  

Der einfacheren Rechnung wegen gehen wir stets von einer äquidistanten Zerlegung des Intervalls aus. Äquidistant heißt, dass die Teilintervalle jeweils gleiche Breite haben.
Berechnen wir für n = 4 die Werte für Unter- und Obersumme der Normalparabel im Intervall [0;1] (vgl. Abbildung 1).


Die Grenzen der Teilintervalle nennen wir t
0, t1, ..., t4. Der Funktionsterm ist f(x) = x2.
Die Breite der Streifen ist 1/4  .


Für die Untersumme erhalten wir:
U4 =
1
4
f(t0) +
1
4
f(t1) +
1
4
f(t2)+
1
4
f(t3)=
  =
1
4
(0 +
1
16
+
1
4
+
9
16
)=
14
64
=0.21875.

Rechne zur Übung O4 = 0.46875 nach.

Gib die Teilintervallgrenzen t
i, i = 0..n, bei einer äquidistanten Zerlegung des Intervalls [0;2] in n = 4 Teilintervalle an.
t
0 = 0,    t1 =...

Gib die Teilintervallgrenzen t
i, i = 0..n, bei einer äquidistanten Zerlegung des Intervalls [1;2] in n = 8 Teilintervalle an.
t
0 = 1,    t1 = ...

Gib die Teilintervallgrenzen t
i, i = 0..n, bei einer äquidistanten Zerlegung des Intervalls [a;b] in n = 4 Teilintervalle an.
t
0 = a,    t1 = a...


Wir halten fest: Durch

t0=a+0
b-a
n
,   t1 =a+1
b-a
n
,   ..   ,   tn=a+n
b-a
n
=b

ist eine äquidistante Zerlegung des Intervalls [a;b] in n Teilintervalle gegeben.

In den Abbildungen
ist klar zu erkennen, dass mit wachsendem n der Unterschied zwischen Ober- und Untersumme immer kleiner wird. Der tatsächliche Flächeninhalt wird also immer mehr eingeschachtelt. Wird der Unterschied beliebig klein, so kann der krummlinig begrenzten Fläche der gemeinsame Grenzwert von Unter- und Obersumme als Flächeninhalt zugewiesen werden.


Berechnen wir also allgemein O
n - Un.

On-Un =
 
b-a
n
  ( f(t1)+...+f(tn) ) -
b-a
n
  ( f(t0)+...+f(tn-1) ) =
 
  =
 
b-a
n
  ( f(tn)-f(t0) ) =
 
  =
 
b-a
n
  ( f(b)-f(a) )
 

Wegen der Stetigkeit von f ist der Ausdruck f(b) - f(a) beschränkt, das heißt er kann betragsmäßig nicht beliebig groß sein. Nun lassen wir n gegen Unendlich gehen.
 
lim
n® ¥
b-a
n
  ( f(b)-f(a) )
= (b-a) (f(b)-f(a))
 
lim
n® ¥
1
n
=0

Es gilt also
 
lim
n® ¥
(On-Un)
= 0.       

Unter der Voraussetzung der Monotonie und Nichtnegativität der Funktion gilt die Ungleichungskette

Un £ A £ On.
  
  
Aus den letzten beiden Aussagen folgt

 
lim
n® ¥
Un = A =
 
lim
n® ¥
On.   


Diesen gemeinsamen Wert fassen wir als den Inhalt der gesuchten Fläche auf.

Fassen wir die zuletzt gewonnenen Erkenntnisse in einem Lehrsatz zusammen.

Lehrsatz: Ist f eine stetige und auf [a; b] monotone nichtnegative Funktion, so stimmen die Grenzwerte für Unter- und Obersumme auf dem Intervall [a; b] überein.

Den gemeinsamen Wert von Obersumme und Untersumme
bezeichnet man als den Inhalt der Fläche zwischen Graph und x-Achse im Intervall [ab].


Berechnen wir nun den Flächeninhalt unter der Normalparabel im Intervall [0;1].

Un =
 
1
n
  æ
ç
ç
è
f(
1
n
0)+f(
1
n
1) +f(
1
n
2)+...+f(
1
n
(n-1)) ö
÷
÷
ø
=
 
  =
 
1
n
  æ
ç
ç
è
0+
1
n2
12+
1
n2
22+
1
n2
32+...+
1
n2
(n-1)2 ö
÷
÷
ø
=
 
  =
 
1
n3
  ( 12+22+32+...+(n-1)2 ) =
 
  =
 
n(2n-1)(n-1)
6n3
=
(2n-1)(n-1)
6n2
 

Für die Summe der Quadrate der Zahlen von 1 bis (n -1) verwenden wir die folgende Formel.
n
å
i=1
i2 =
n(n+1)(2n+1)
6

Um nur bis n -1 zu summieren, ersetzen wir n durch n -1.

Bilden wir nun den Grenzwert.

 
lim
n® ¥
Un =
 
lim
n® ¥
(2n-1)(n-1)
6n2
=
1
3


Der Inhalt der gesuchten Fläche ist somit 1/3 FE.


Bestätige in gleicher Weise:
 
 
lim
n® ¥
On =
1
3


Bestätige den Inhalt 8/3FE der Fläche zwischen der Normalparabel und x-Achse im Intervall [0; 1].