Die rutschende Leiter

Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3

Eine Leiter steht an der Wand. Der Fuß der Leiter bewegt sich nach rechts und die Leiter rutscht schließlich ab.

Aufgabe 1

Eine anspruchsvolle Aufgabe

Durch welche Funktion wird die (blaue) Kurve beschrieben?

Das Problem kann so näher gefasst werden:

Zu jeder beliebigen Stelle z im Bereich von 0 bis 1 gibt es eine Leiterstellung, so dass der Leiterpunkt über dieser Stelle maximale Höhe hat.

Die Leiter in einer beliebigen Stellung lässt sich über die Achsenabschnitte (a auf der x-Achse und t auf der y-Achse) leicht beschreiben. Wegen der Länge 1 der Leiter erhält man einen Zusammenhang zwischen den beiden Parametern.

Aufgabe 2

Eine klassische Aufgabe

Die Leiter steht senkrecht an der Wand. Welche Bahn beschreibt der Mittelpunkt der Leiter, wenn sie wie im ersten Teil beschrieben an der Mauer herunterrutscht?

Sei M der Mittelpunkt der Leiter, A der Endpunkt der Leiter auf der x-Achse, T der Endpunkt der Leiter und O der Koordinatenursprung. (vgl. Zeichnung)

Vermutung
Skizziert man die senkrechte, die waagrechte und vielleicht noch eine oder zwei weitere Lagen der Leiter, so kommt man zur Vermutung, dass die Bahn ein Viertelkreis um O mit dem Radius r =1/2 ist.

Beweis

Das Dreieck OAT ist rechtwinklig. M ist der Mittelpunkt der Hypotenuse. Somit liegen für jede Position der Leiter die Eckpunkte des Dreiecks OAT auf dem Thaleskreis um M über der Seite [AT].
Das bedeutet aber, dass die Entfernung des Punktes M vom Ursprung O unabhängig von der Stellung der Leiter stets die halbe Leiterlänge, also 1/2 LE, ist.

Alle Punkte liegen also auf dem Viertelkreis um O mit Radius 1/2.
Für M(x_m/ y_m) gilt nach Pythagoras x_m²+ y_m²= (1/2)².
Die gesuchte Kurve wird also im Intervall [0; (1/2)] beschrieben durch die Funktion

.

Die Animation zeigt den Viertelkreis und bestätigt die Überlegung.

Aufgabe 3

Eine interessante Aufgabe

Die Leiter steht senkrecht an der Wand.
Welche Bahn beschreibt der obere Punkt P der Leiter, der diese im Verhältnis 4 : 3 (4 Teile unten) teilt, wenn sie wie im ersten Teil beschrieben an der Mauer herunterrutscht?

Die Aufgabe ist im Wesentlichen eine Anwendung des Strahlensatzes. Die folgende Figur zeigt den allgemeinen Punkt P(x|y), der die Bedingungen erfüllt. Der Achsenabschnitt auf der x-Achse der entsprechenden Leiterstellung wird wieder mit a bezeichnet.

Die Animation zeigt ein Viertel der Ellipse um den Ursprung mit den Halbradien 4/7 auf der y-Achse und 3/7 auf der x-Achse.